Question

已知雙曲線的左，右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上，且，求此雙曲線的離心率e的最大值．

Answer 1

解析:

【解題思路】這是一個存在性問題，可轉化為最值問題來解決。

 (方法1)由定義知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當時，解得．即的最大值為．

(方法2)  ，

雙曲線上存在一點P使，等價于

 (方法3)設，由焦半徑公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值為．

【名師指引】（1）解法1用余弦定理轉化，解法2用定義轉化，解法3用焦半徑轉化；

（2）點P在變化過程中，的范圍變化值得探究；

（3）運用不等式知識轉化為的齊次式是關鍵