Question

【題目】如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個(gè)半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，．現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對(duì)岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護(hù)小島，段設(shè)計(jì)成與圓相切．設(shè)．

（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；

（2）若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？

Answer 1

【答案】（1），定義域是．（2）百萬

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用直線與圓相切得到，再代入這一關(guān)系中，即可得答案；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；

以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，．

因?yàn)?/span>，

所以直線的方程為，

即，

因?yàn)閳A與相切，所以，

即，從而得，

在直線的方程中，令，得，

所以，

所以

當(dāng)時(shí)，，設(shè)銳角滿足，則，

所以關(guān)于的函數(shù)是，定義域是．

（2）要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長度即最小．

令，得，設(shè)銳角，滿足，得．

列表：

		0
	減	極小值	增

所以時(shí)，，所以建造此通道的最少費(fèi)用至少為百萬元．