Question

已知函數f（x）=2lnx-ax²，g(x)=x-

e

a

+

1

2

，a∈R，（e為自然對數的底數）．
（1）討論函數f（x）的極值；
（2）定義：若?x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數y=f（x）的一個不動點．設h（x）=f（x）+g（x）．當a＞0時，討論函數h（x）是否存在不動點，若存在求出a的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導，討論f′（x）的值是大于0、還是小于0，從而確定f（x）在定義域上的極值情況；
（2）假設存在不動點，則方程h（x）=x有解，討論方程的解是否存在，以確定h（x）有無不動點．

解答：解：（1）∵f（x）=2lnx-ax²，∴f′（x）=

2

x

-2ax=

2-2ax2

x

（其中x＞0）；
①當a=0時，f′（x）=

2

x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，無極值；
②當a＜0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，無極值；
③當a＞0時，令f′（x）=0，得x=

1 a

，列表如下：

∴當x=

1 a

時，f（x）有極大值是f（

1 a

）=-lna-1；
綜上，當a≤0時無極值，當a＞0時，f（x）有極大值是f（

1 a

）=-lna-1；
（2）假設存在不動點，則方程h（x）=x有解，即2lnx-ax²-

e

a

+

1

2

=0有解；
設r（x）=2lnx-ax²-

e

a

+

1

2

，（其中a＞0），
由（1）知，r（x）_極大值=-lna-1-

e

a

+

1

2

=-lna-

e

a

-

1

2

，
下面判斷r（x）_極大值是否大于0，設p（a）=-lna-

e

a

-

1

2

，（其中a＞0），
∴p′（a）=-

1

a

+

e

a2

=

e-a

a2

，列表如下：

當a=e時，p（a）_極大值=p（e）=-

5

2

＜0，
所以，p（a）=-lna-

e

a

-

1

2

＜0恒成立，即r（x）_極大值小于零，
所以h（x）無不動點．

點評：本題考查了利用導數來判定函數的單調性與極值問題，也考查了含參數的不等式的解法問題．