Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質可得平面，即可得到，從而得證；

（Ⅱ）在平面中，過點作于點，則平面，如圖所示建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關系，從而得解；

解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，

則，從而

因為平面平面，平面平面

所以平面，

又因為平面，

所以，

因為，，平面，平面，所以平面；

（Ⅱ） 解：在平面中，過點作于點，則平面，如圖所示建立空間直角坐標系，設，其中，則

設平面的法向量為，則

，即，

令，則

又平面的一個法向量，則

從而，故

則直線與平面所成的角為，大小為.