Question

若函數f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上沒有零點，則函數g（x）=（a+1）（x³-3x+4）的遞減區間是

 

．

Answer 1

分析：根據f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上沒有零點，得f（-1）f（1）＞0，求出a的范圍，由g（x）求出g′（x），令g′（x）＜0，結合a的范圍，得出x的范圍，即為所求．

解答：解：∵f（x）=3ax-2a+1在區間[-1，1]上沒有零點，
∴f（-1）f（1）＞0，∵f（-1）=-5a+1，f（1）=a+1
∴（-5a+1）（a+1）＞0，∴-1＜a＜

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∵g（x）=（a+1）（x³-3x+4），∴g′（x）=（a+1）（3x²-3）=3（a+1）（x-1）（x+1），
令3（a+1）（x-1）（x+1）＜0，，∵-1＜a＜

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5

，∴a+1＞0，
∴（x-1）（x+1）＜0，∴-1＜x＜1，
∴函數g（x）的遞減區間是 （-1，1），
故答案為（-1，1）．

點評：本題考查了零點的存在性定理，導數與單調性的關系等知識點，數形結合，得出第一步的不等式，判斷導數符號時，轉化不一元二次不等式求解．