Question

【題目】眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因此被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”的一個示意圖，整個圖形是一個圓面，其中黑色區域在軸右側部分的邊界為一個半圓．給出以下命題：

①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是；

②當時，直線與白色部分有公共點；

③黑色陰影部分中一點，則的最大值為2；

④設點，點在此太極圖上，使得，的范圍是．

其中所有正確結論的序號是（ ）

A.①②B.②③C.①③D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據幾何概型概率計算，判斷①的正確性；

根據直線和圓的位置關系，判斷②的正確性；

根據線性規劃的知識求得的最大值，由此判斷③的正確性；

將轉化為過的兩條切線所成的角大于等于，由此求得的取值范圍，進而求得的取值范圍，從而判斷出④的正確性.

對于①，將y軸右側黑色陰影部分補到左側，即可知黑色陰影區域占圓的面積的一半，

根據幾何概型的計算公式，所以在太極圖中隨機取一點，

此點取自黑色陰影部分的概率是，①正確；

對于②，當時，直線,

過點，所以直線與白色部分在第I和第IV象限部分沒有

公共點.圓的圓心為，半徑為，圓心到直線

，即直線的距離為，

所以直線與白色部分在第III象限的部分沒有公共點.

綜上所述，直線y＝ax+2a與白色部分沒有公共點，②錯誤；

對于③，設l：z＝x+y，由線性規劃知識可知，當直線l與圓x2+（y﹣1）2＝1相切時，

z最大，由解得z（舍去），③錯誤；

對于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要過點P的兩條切線所成角大于等于，

所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得，④正確．

故選：D