Question

（2009•紅橋區一模）已知M（4，0），N（1，0），若動點P滿足

MN

•

MP

=6|

PN

|
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過點N的直線l交軌跡C于A、B兩點，若5•

NA

•

BN

=12，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設P（x，y），可得向量

MN

、

MP

的坐標，根據

MN

•

MP

=6|

PN

|利用數量積公式和兩點的距離公式建立關于x、y的方程，化簡得

x2

4

+

y2

3

=1，即為動點P的軌跡C的方程；
（II）當直線l斜率不存在時，算出A（1，

3

2

）、B（1，-

3

2

），從而得到

NA

•

BN

=

9

4

，不符合題意；當l斜率存在時，設交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將l方程y=k（x-1）與曲線C消去y得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系和直線l方程化簡得

NA

•

BN

=

9(1+k2)

3+4k2

=

12

5

，解出k=±

3

，從而可得直線l的方程為y=±

3

（x-1）．最后綜合即可得到滿足條件的直線l的方程．

解答：解（I）設P（x，y），得

MN

=(-3，0)，

MP

=(x-4，y)
∵

|PN|

=

(x-1)2+(y-0)2

=

(x-1)2+y2

∴由

MN

•

MP

=6|

PN

|得3（4-x）=6

(x-1)2+y2

兩邊平方，化簡得

x2

4

+

y2

3

=1，
因此，動點P的軌跡C的方程為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）（1）當直線l的斜率不存在時，方程為x=1
由

x2 4 + y2 3 =1 x=1

，解得A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

）
∴

NA

=(0，

3

2

)，

BN

=(0，

3

2

)，可得

NA

•

BN

=

9

4

，不符合題意
（2）當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

∵

NA

=(x1-1，y1)，

BN

=(1-x2，-y2)
∴

NA

•

BN

=(x1-1)(1-x2)-y1y2
=-[(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)]=-（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=-（1+k²）（

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1）=

9(1+k2)

3+4k2

∵5

NA

•

BN

=12，得

NA

•

BN

=

12

5

∴

9(1+k2)

3+4k2

=

12

5

，解之得k=±

3

，可得直線l的方程為y=±

3

（x-1），
化簡得

3

x-y-

3

=0或

3

x+y-

3

=0
綜上所述，滿足條件的直線l方程為

3

x-y-

3

=0或

3

x+y-

3

=0．

點評：本題給出動點P的軌跡，求軌跡方程并求滿足條件的直線l方程．著重考查了圓錐曲線的方程、向量的數量積、直線與圓錐曲線的位置關系和動點軌跡的研究等知識，屬于中檔題．