Question

【題目】已知邊長為4的正三角形ABC的邊AB、AC上分別有兩點D、E，DE//BC且DE=3，現將△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空間中取一點F使得ADBF為平行四邊形，連接AC、FC得六面體ABCEDF，G是BC邊上動點.

（1）若EG//平面ACF，求CG的長；

（2）若G為BC中點，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）由平行四邊形可得AF//BD,則BD//平面ACF,再由平面ACF∩平面BCED=CH,可得BD//CH,同理EG//CH,則BD//EG,即可求解；

（2）取DE中點O,連接AO,OG（取BC中點G）,以O為坐標原點,分別以OG,OE,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求得平面AEG的法向量,取平面AED的一個法向量為,進而利用數量積求解即可.

（1）設平面ACF與平面BCED的交線為CH（H在直線DE上）,

∵ADBF為平行四邊形,∴AF//BD,

∵AF平面ACF,BD平面ACF,

∴BD//平面ACF,

又BD平面BCED, 平面ACF∩平面BCED=CH,∴BD//CH,

∵EG//平面ACF,EG平面BCED,平面ACF∩平面BCED=CH,∴EG//CH,

∴BD//EG,

∴是平行四邊形,

∴BG=DE=3,則CG=BC-BG=1

（2）取DE中點O,連接AO,OG（取BC中點G）,則AO⊥DE,OG⊥DE,

又平面ADE⊥平面BCED,且平面ADE∩BCED=DE,∴AO⊥平面BCED,

以O為坐標原點,分別以OG,OE,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

則E（0,,0）,A（0,0,）,G（,0,0）,

則,,

設平面AEG的法向量為,

由,取z=1,得,

取平面AED的一個法向量為,

∴,

∴二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值為.