Question

已知長方體AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，連接B₁C，過B點作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證A₁C⊥平面EBD；
（2）求點A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求平面A₁B₁C與平面BDE所成角的度數；
（4）求ED與平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）要證A₁C⊥平面EBD，只需證明A₁C⊥BD（通過A₁A⊥面ABCD來證得），A₁C⊥BE（通過BE⊥面A₁B₁C來證得）即可
（2）由于AB∥平面A₁B₁C，將點A到平面A₁B₁C的距離轉化成點B到平面A₁B₁C的距離．即為BF的長．
（3）由上可以證出平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C與平面BDE所成角的度數為90°
（4）連接DF，A₁D，EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，EF⊥面A₁B₁C，所以∠EDF即為ED與平面A₁B₁C所成的角，在三角形EFD中求解即可．

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD內的射影
∴A₁C⊥BD；
又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB內的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又∵BD∩BE=B
∴A₁C⊥面EBD…（3分）
（2）∵AB∥平面A₁B₁C，點B到平面A₁B₁C的距離等于點A到平面A₁B₁C的距離
∵

BF⊥B1C BF⊥A1B1

⇒BF⊥平面A₁B₁C，BF的長即為所求距離．
∴所求距離即為BF=

BB1• BC

B1C

=

3×4

32 +42

=

12

5

  …（6分）
（3）由（2）∵BF⊥平面A₁B₁C，，而BF在平面BDE上，
∴平面A₁B₁C⊥平面BDE，故平面A₁B₁C與平面BDE所成角的度數為90°．
 …（9分）
（4）連接DF，A₁D，∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥面A₁B₁C，
∴∠EDF即為ED與平面A₁B₁C所成的角  （6分）  
由條件AB=BC=3，BB₁=4，
可知B₁C=5，BF=

12

5

，B1F=

16

5

，CF=

9

5

，EF=

FC

B1F

•BF=

27

20

，EC=

FC

B1F

•BB1=

9

4

∴ED=

EC2+CD2

=

15

4

∴sin∠EDF=

EF

ED

= 

27 20

15 4

= 

9

25

．
∴ED與平面A₁B₁C所成角為arcsin

9

25

…（12分）

點評：本題考查了空間直線和直線、直線和平面、平面和平面垂直的判定與性質，線面角，面面角的計算．考查空間想象能力、計算、推理論證能力．