Question

【題目】如圖，已知四棱錐 中， .

（1）證明：頂點在底面的射影在的平分線上；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（1）根據題意作出底面，分別作，垂直分別為，連接，證明，進而根據角平分線的定義得到結論；（2）建立坐標系，計算兩個面的二面角，再由公式得到兩個法向量的夾角。

解析：

（1）設點為點在底面的射影，連接，則底面，

分別作，垂直分別為，連接，

因為底面, 底面，所以，

又 ，所以平面平面，

所以，

同理，即，

又，所以，

所以，又，所以，

所以，所以為的平分線.

（2）以為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，所以，因為為的平分線，

所以，所以，

則，

所以

設平面的一個法向量為，

則 ，可取，

設平面的一個法向量為，

則由，可取，

所以 ，

所以二面角的余弦值為.