Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

【答案】解：（1）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），化為普通方程得：y=x
∴在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角是，
因此，直線l的極坐標(biāo)方程是θ=，（ρ∈R）；
（2）把θ=代入曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．
【解析】（1）將直線化成普通方程，可得它是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線，由此不難得到直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C極坐標(biāo)方程，可得關(guān)于ρ的一元二次方程，然后可以用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方法，可以得到AB的長(zhǎng)度．