Question

高考數學考試中共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規定：“在每小題給出的上個選項中，只有一項是符合題目要求的，答對得5分，不答或答錯得0分”．某考生每道選擇都選出一個答案，能確定其中有8道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項錯誤的，有一道題可能判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．試求出該考生的選擇題：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的概率最大？
（3）所得分數ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知要得40分，就是除能確定做對的8道題之外，其余4題全部做錯．在其余的四道題中，有兩道題答對的概率為

1

2

，有一道題答對的概率為

2

3

，還有一道題答對的概率為

3

4

，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
（2）該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五種，得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯，
得分為45時，有三種可能，這三種情況是互斥的，以此類推，做出概率．
（3）由題意知變量的可能取值分別是40，45，50，55，60，根據第二問做出的結果，寫出離散型隨機變量的分布列，做出期望．

解答：解：（1）要得40分，就是除能確定做對的8道題之外，其余4題全部做錯．
在其余的四道題中，有兩道題答對的概率為

1

2

，
有一道題答對的概率為

2

3

，還有一道題答對的概率為

3

4

，
∴他做選擇題得40分的概率為：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

．
（2）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共五種
得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯，
于是其概率為：P1=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

6

48

類似的，可知得分為45分的概率：P2=

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得分為50的概率：P3=

17

48

；
得分為55的概率：P4=

7

48

；
得分為60的概率：P5=

1

48

．
∴該生選擇題得分為45分或50分的可能性最大．
（3）由（2）可知ξ的分布列為：
∴Eξ=40×

6

48

+45×

7

48

+50×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查學生利用所學的知識解決實際問題的能力，是一個綜合題目．