Question

已知過拋物線x²＝4y的對稱軸上一點P(0，m)(m＞0)作直線l，l與拋物線交于A、B兩點．

(1)若角∠AOB為銳角(O為坐標原點)，求實數m的取值范圍；

(2)若l的方程為x－2y＋12＝0，且過A、B兩點的圓C與拋物線在點且(A在第一象限)處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設l：y＝kx＋m，代入拋物線x2＝4y的方程化簡得 　　x2－4ky－4m＝0，　　1分 　　∵m＞O∴△＝16k2＋16m＞0恒成立 　　設A(x1，y1)．B(x2，y2)，則xl＋x2＝4k，x1x2＝－4m． 　　又角AOB為銳角，所以　　3分 　　因為， 　　則，即， 　　又因為m＞0，解得m＞4；　　6分 　　(2)解方程組，得或， 　　由題意得A(6，9)、B(－4，4)， 　　又函數的導數為，所以過點A的公共切線斜率k＝3，由題意知圓C的圓心C是線段AB的垂直平分線和過點A與公共切線垂直的直線的交點，　　9分 　　，即， 　　，即，　　10分 　　聯立和的方程解得圓心坐標， 　　圓半徑　　11分 　　故所求圓方程為　　12分