Question

【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績，并規定為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；

（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取3人，設表示這3人中成績滿足的人數，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）根據以往培訓數據，規定當時培訓有效.請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.

【解析】

（Ⅰ）利用古典概率的求解方法求解；（Ⅱ）先求的所有可能的值，再求解分布列和期望；（Ⅲ）先求，再根據結果判斷.

（Ⅰ）設該名學生考核成績優秀為事件

由莖葉圖中的數據可以知道，名同學中，有名同學考核優秀

所以所求概率約為

（Ⅱ）的所有可能取值為

因為成績的學生共有人，其中滿足的學生有人

所以，

，

隨機變量的分布列為

（Ⅲ）根據表格中的數據，滿足的成績有個

所以

所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.