Question

（12分）
設函數的定義域為全體R，當x<0時，，且對任意的實數x，y∈R，有成立，數列滿足，且（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：是R上的減函數；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）若不等式對一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）令，得，
由題意知，所以，故．
當時，，，進而得．
設且，則，
．
即，所以是R上的減函數．                
（Ⅱ）由 得 ，
所以．
因為是R上的減函數，所以，
即， 進而，
所以是以1為首項，2為公差的等差數列．
所以，      
所以．                                              
（Ⅲ）由對一切n∈N^*均成立．
知對一切n∈N^*均成立．
設，
知且
又.
故為關于n的單調增函數，．所以，k的最大值為 

略