Question

設函數f（x）=x（x-1）²，x＞0
（1）求f（x）的極值；
（2）設函數g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且僅有一個，求實數m和t的值；
（3）設a＞0，試討論方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x（x-1）²，x＞0，知f′（x）=3x²-4x+1，由此能求出f（x）的極值．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得

lnx-2x2+3x+t-m≤0① x(x-1)2-x-m≥0②

，由此能求出t．
（3）令∅（x）=

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=

1

2

x2-alnx，得到∅′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

．由此能推導出方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的個數．

解答：解：（1）∵f（x）=x（x-1）²，x＞0，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f’（x）=0，得x=

1

3

，或x=1，
∴當x變化時f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由上表知當x=

1

3

時，f（x）取得極大值

4

27

，當x=1時，f（x）取得極小值0．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得

lnx-2x2+3x+t-m≤0① x(x-1)2-x-m≥0②

對x∈（0，+∞）恒成立，
由②得m=-

32

27

，又由①得1+t-m=0，∴t=-

59

27

．
（3）令∅（x）=

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx
=

1

2

x2-alnx，
∴∅′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

．
∵當x→0時，∅（x）→+∝，
∴由當0＜a＜e時，∅（x）_min=∅（

a

）=

a

2

(1-lna)，此時原方程無解；
當a=e時，∅（x）_min=∅（

a

）=0，此時原方程有唯一解；
當a＞e時，∅（x）_min=∅（

a

）＜0，此時原方程，有兩解．

點評：本題考查函數的極值的求法，考查滿足條件的實數值的求法，考查方程的解的個數的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．