Question

【題目】由團中央學校部、全國學聯秘書處、中國青年報社共同舉辦的2018年度全國“最美中學生“尋訪活動結果出爐啦，此項活動于2018年6月啟動，面向全國中學在校學生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學習、熱心助人、見義勇為等方面表現突出、自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀的“最美中學生”．現隨機抽取了30名學生的票數，線成如圖所示的莖葉圖，若規定票數在65票以上（包括65票）定義為風華組．票數在65票以下（不包括65票）的學生定義為青春組．

（Ⅰ）在這30名學生中，青春組學生中有男生7人，風華組學生中有女生12人，試問有沒有的把握認為票數分在青春組或風華組與性別有關；

（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從青春組和風華組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？

（Ⅲ）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區所有的中學（人數很多）中隨機選取4人，用表示所選4人中青春組的人數，試寫出的分布列，并求出的數學期望．

附：；其中

獨立性檢驗臨界表：

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】（Ⅰ）沒有的把握認為成績分在青春組或風華組與性別有關；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列詳見解析，數學期望為.

【解析】

（Ⅰ）依題意作出列聯表，由列聯表計算出卡方，再跟參考數據比較，即可得出結論；

（Ⅱ）根據古典概型的概率公式計算可得；

（Ⅲ）由樣本數據得到抽取1名學生是青春組學生的概率為，則服從二項分布，顯然的取值為0，1，2，3，4，再列出分布列，即可求出數學期望；

解：（Ⅰ）作出列聯表：

	青春組	風華組	合計
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計	12	18	30

由列聯表數據代入公式得，

因為，

故沒有的把握認為成績分在青春組或風華組與性別有關．

（Ⅱ）用表示“至少有1人在青春組”，則．

（Ⅲ）由題知，抽取的30/span>名學生中有12名學生是青春組學生，抽取1名學生是青春組學生的概率為，那么從所有的中學生中抽取1名學生是甲組學生的概率是，又因為所取總體數量較多，抽取4名學生可以看出4次獨立重復實驗，于是服從二項分布．

顯然的取值為0，1，2，3，4．且，．

所以得分布列為：

	0	1	2	3	4

數學期望