【題目】已知函數
，
.
（1）求函數
在
上的最小值；
（2）對一切
，
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）探討函數
是否存在零點？若存在，求出函數
的零點；若不存在，請說明理由.
【答案】(1) 
；(2) 
；(3) 函數
無零點.
【解析】
試題分析：(1)求函數
的層數可得
，并由導數的符號判斷函數的單調性可得函數在區間
上的最小值為
，分別討論當
與
時函數在區間
上的單調性與最小值即可；（2）對一切
，
恒成立
，構造函數
，求函數
的最小值即可；(3) 
，由（Ⅰ）知當且僅當
時，
的最小值是
，構造函數
，求其導數，研究函數的單調性與最值可知
，且兩個函數取得最大值點與最小值點時不相等，所以有
，即兩個函數無公共點，即函數
無零點.
試題解析： （Ⅰ）
，
由
得，
，由
得
，
函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增.………………（1分）
當
時，
；
當
時，
在
上單調遞增，
，………………（2分）
………………（3分）
（Ⅱ）原問題可化為
，………………（4分）
設，
，當
時，
在
上單調遞減；…………（5分）
當
時，
在
上單調遞增；………………（6分）
，故
的取值范圍為.………………（7分）
（Ⅲ）令，得
，即
，………………（8分）
當（Ⅰ）知當且僅當時，的最小值是，…………（9分）
設，則
，易知
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
當且僅當
時，取最大值，且
，………………（10分）
對
都有
，即
恒成立，
故函數無零點.……………………（12分）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
(1)若
＝6
，求k的值；
(2)求四邊形AEBF面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】用長為
，寬為
的長方形鐵皮做一個無蓋的容器.先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉
，再焊接而成（如圖）.問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝elnx，g(x)＝
f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)
(1)求函數g(x)的極大值；
(2)求證：1＋
＋
＋…＋
>ln(n＋1)(n∈N*)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的方程為
，兩焦點
，點
在橢圓
上．
（1）求橢圓
的方程；
（2）如圖，動直線
與橢圓
有且僅有一個公共點，點
、
是直線
上的兩點，且
.求四邊形
面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
），將
的圖象向左平移
個單位長度后得到
的圖象，且
在區間
內的最大值為
.
（1）求實數
的值；
（2）在
中，內角
， 
， 
的對邊分別是
， 
， 
，若
，且
，求
的周長
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究“教學方式”對教學質量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學方式對入學數學平均分數和優秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學（勤奮程度和自覺性都一樣）．以下莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學生的數學期末考試成績．
（1）現從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為87分的同學至少有一名被抽中的概率；
（2）學校規定：成績不低于75分的為優秀，請填寫下面的
列聯表，并判斷有多大把握認為“成績優秀與教學方式有關”．
甲班 | 乙班 | 合計 | |
優秀 | |||
不優秀 | |||
合計 |
下面臨界值表供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| span>2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
）
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