Question

已知拋物線x²=4y上的點P（非原點）處的切線與x軸，y軸分別交于Q，R兩點，F為焦點．
（Ⅰ）若

PQ

=λ

PR

，求λ．
（Ⅱ）若拋物線上的點A滿足條件

PF

=μ

FA

，求△APR的面積最小值，并寫出此時的切線方程．

Answer 1

分析：（I）設P(t，

t2

4

)(t≠0)，則由導數的幾何意義可得PR的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，可求Q，R，由

PQ

=λ

PR

，代入可求λ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：y-1=

t2 4 -1

t

x，聯立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A，而S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，通過導數研究函數的單調性，進而可求f（t）的最小值及取得最小值時的t，從而可求切線方程

解答：解：（Ⅰ）設P(t，

t2

4

)(t≠0)，則PR的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)（切線的斜率k=

t

2

），
令y=0得Q(

t

2

，0)，令x=0得R（0，-

t2

，4

）
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)，

PR

=(-t，-

t2

2

)，
所以λ=

1

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：y-1=

t2 4 -1

t

x，
聯立方程得

y-1= t2 4 -1 t x 4y=x2

，解之得A點的坐標為(-

4

t

，

4

t2

)，S△APR=

1

2

|RF||xp-xA|=

1

2

|1+

t2

4

|•|t+

4

t

|=

1

2

|

t3

4

+2t+

t

4

|，
令f(t)=

1

2

(

t3

4

+2t+

4

t

)(t＞0)，f′(t)=

1

2

(

3

4

t2+2-

4

t2

)，
令f'（t）=0得t=

2

3

3

，當t∈(0，

2

3

3

)時，f'（t）＜0，當t∈(

2

3

3

，+∞)時，f'（t）＞0，
所以，f（t）當且僅當t=

2

3

3

時取最小值

16

9

3

，
因為

1

2

|

t3

4

+2t+

4

t

|是關于t的偶函數，同樣地，當t=-

2 3

3

時，也取得最小值

16

9

3

，
此時切線PR的方程為y=

3

3

x-

1

3

或y=-

3

3

x+

1

3

．

點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義求解曲線的切線方程，利用導數研究函數的單調性、求解函數的最值及直線與曲線相交關系的綜合應用，屬于綜合性試題