Question

【題目】已知動圓過定點，且與定直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過點的任一條直線與軌跡交于不同的兩點，試探究在軸上是否存在定點（異于點），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ，（2）見解析

【解析】

（1）根據拋物線的定義即可得解；

（2）假設存在點滿足題設條件，由題意可得直線與的斜率互為相反數，即，設，，設,再由直線與拋物線聯立，利用韋達定理代入求解即可.

（1）解法1：依題意動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等，

由拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線， 其中．

動圓圓心的軌跡的方程為．

解法2：設動圓圓心 ，依題意：.

化簡得：，即為動圓圓心的軌跡的方程

（2）解：假設存在點滿足題設條件．

由可知，直線與的斜率互為相反數，

即 ①

直線的斜率必存在且不為，設,

由得．

由,得或．

設，則．

由①式得 ,

,即．

消去，得,

,

,

存在點使得．