Question

【題目】已知定義在上的函數.

（1）求單調區間；

（2）當時，證明：若、是函數的兩個零點，則.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得，然后對與的大小關系進行分類討論，分析導數符號的變化，即可得出函數的單調遞增區間和減區間；

（2）由（1）可知，函數在上單調遞增，構造函數，利用導數證明出函數在區間上單調遞增，進而可得出，設，，由得出，再由函數在區間上的單調性可得出結論.

（1），，

令得或.

當時，恒成立，此時，函數的單調增區間為；

當時，由，得或；由，得.

此時，函數的單調減區間為，單調增區間為和；

當時，由，得或；由，得.

此時，函數的單調減區間為，單調增區間為和.

綜上所述，當時，函數的單調增區間為；

當時，函數的單調減區間為，單調增區間為和；

當時，函數的單調減區間為，單調增區間為和；

（2）當時，，則，

由（1）知，函數的兩個極值點分別為和，且函數在上單調遞增.

令，可得，令，

所以，直線與函數的圖象交點的橫坐標即為函數的零點.

且，所以，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，

所以，函數的極小值為，極大值為，且恒成立.

作出直線與函數的圖象如下圖所示：

當時，則直線與函數的圖象至少有兩個交點，

且其中兩個交點的橫坐標可作為、，并設.

①若，顯然；

②若，令，

則，

當時，，，

所以，函數在上單調遞增，

，即，

不妨設，，則，即，，

.

綜上所述，.