Question

已知雙曲線C：

x2

3

-y²=1，若直線y=kx+m（k，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且M，N在以點A（0，-1）為圓心的圓上，則實數m的取值范圍是

（-

1

4

，0）∪（4，+∞）

．

Answer 1

分析：將直線方程與雙曲線方程聯立，消去y得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，根據直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點，可得

3k2-1≠0 △＞0

從而有

k2≠ 1 3 m2+1＞3k2

，再利用M、N兩點都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，建立關于m的不等關系，從而求出實數m的取值范圍．

解答：解：如圖所示，由

y=kx+m x2 3 -y2=1

⇒（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點為B（x₀，y₀），則有

3k2-1≠0 △＞0

⇒

k2≠ 1 3 m2+1＞3k2

 ①
由中點坐標公式及韋達定理得x0=-

3km

3k2-1

，y0=kx0+m=-

m

3k2-1

因為M、N兩點都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，
即kAB=

y0+1

x0-0

=

-m+3k2-1

-3km

=-

1

k

，
∴3k²=4m+1    ②
由①②得

4m+1＞0 m2+1＞4m+1 4m+1≠1

∴m＞4或-

1

4

＜m＜0．
故答案為：（-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

點評：本題以雙曲線的幾何性質為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，有難度．