Question

某工廠有216名工人接受了生產1000臺GH型高科技產品的總任務，已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置．現將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置．設加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數）．
（1）寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總任務的時間f（x）的解析式；
（3）應怎樣分組，才能使完成總任務用的時間最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，得出每小時加工的G型裝置和H型裝置的個數，求出總的個數，即可得出寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）用作差法比較大小即可，得出分配人數x的范圍與兩函數值大小的關系，總加工時間以后加工完成的零件所需的時間計，由此利用分段函數寫出f（x）的解析式；
（3）求函數f（x）的最小值，算出最小值時的自變量即得，由于函數f（x）是一個分段函數，故要對每一段上的最值作出研究，再進行比較得到函數的最小值．
解答：解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216-x）人．
∴g（x）=，h（x）=，
即g（x）=，h（x）=（0＜x＜216，x∈N^*）．
（2）g（x）-h（x）=-=．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
當0＜x≤86時，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
當87≤x＜216時，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f（x）=
（3）完成總任務所用時間最少即求f（x）的最小值．
當0＜x≤86時，f（x）遞減，
∴f（x）≥f（86）==．
∴f（x）_min=f（86），此時216-x=130．
當87≤x＜216時，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（87）==．
∴f（x）_min=f（87），此時216-x=129．
∴f（x）_min=f（86）=f（87）=．
∴加工G型裝置，H型裝置的人數分別為86、130或87、129．
點評：本題考查函數模型的選擇與應用，根據實際問題選擇合適的模型是解決實際問題的變化關系常用的方法，其步驟是，建立函數模型，求解函數，得出結論，再反饋回實際問題中去．