Question

【題目】如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊是的三等分點，是的中點.分別沿將四邊形和折起，使重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，分別為的中點.

(1)證明:平面

(2)求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)根據線面垂直的判定定理，可證平面，所以平面平面，再根據面面垂直的性質定理，證出，即可證出平面；

(2)由題可知，幾何體為三棱柱，它的體積與以為底面，以為高的三棱柱的體積相等，即可求出．

(1)證明:連接，由圖1知，四邊形為菱形，且，

所以是正三角形，從而.

同理可證，

所以平面.

又，所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

易知，且為的中點，所以，

所以平面.

(2)由(1)可知，幾何體為三棱柱，它的體積與以為底面，以為高的三棱柱的體積相等.

因為.

所以，

所以.