Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）設，求函數的單調區間；

（3）若對任意的恒成立，求滿足題意的所有整數m的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）利用切點和斜率求得切線方程.

（2）求得的表達式，利用，對分成，兩種情況進行分類討論，由此求得的單調區間.

（3）由對任意的恒成立，得到對成立，由此構造函數，利用來導數研究的單調區間和最值，由此求得整數的取值集合.

（1），所以，，

所以所求切線方程為，即．

（2）由已知，，

所以．

當時，的單調遞增區間為；

當時，令，得或（舍去），

時，，函數單調遞減；

時，，函數單調遞增．

綜上，當時，的單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞減區間為，

函數的單調遞增區間為．

（3）由已知對成立，

設，

令，得．

當時，單調遞減；

當時，單調遞增．

所以，

設，令，得．

當時，單調遞增；

當時，單調遞減．

又，，，，，

所以滿足題意的整數m構成的集合為．