Question

14、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點．求證：
（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD₁．根據中位線可知BD₁∥OE，又OE?平面EAC，BD₁?平面EAC，根據線面平行的判定定理可知BD₁∥平面EAC；
（2）根據BB₁⊥AC，BD⊥AC，BB₁∩BD=B，滿足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BB₁D₁D，又BD₁?平面BB₁D₁D則BD₁⊥AC，同理BD₁⊥AB₁，從而BD₁⊥平面AB₁C．根據（1）可得BD₁∥OE，從而EO⊥平面AB₁C，又EO?平面EAC，根據面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB₁C．

解答：證明：（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD₁．（2分）
因為E為DD₁的中點，所以BD₁∥OE．（5分）
又OE?平面EAC，BD₁?平面EAC，
所以BD₁∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB₁⊥AC，BD⊥AC．∴AC⊥平面BB₁D₁D
又BD₁?平面BB₁D₁D∴BD₁⊥AC．（10分）
同理BD₁⊥AB₁，∴BD₁⊥平面AB₁C．（12分）
由（1）得BD₁∥OE，∴EO⊥平面AB₁C．
又EO?平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB₁C．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，同時考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．