Question

已知在(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n；
（2）求展開式中含x²的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先求出 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，再令r=4，可得第5項(xiàng)，再由第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求得n的值．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)

8-2r

3

=2，解得r=1，從而求得展開式中含x²的項(xiàng)．

解答：解：（1）由于 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•x

n-r

3

•(-

1

2

)r•x

-r

3

=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，
故第5項(xiàng)為 T₄₊₁=(-

1

2

)4

•C

4 n

•x

n-8

3

．
由于第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴

n-8

3

=0，解得 n=8．
（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r 8

•x

8-2r

3

，令

8-2r

3

=2，解得r=1，
故展開式中含x²的項(xiàng)為 (-

1

2

)1

•C

1 8

•x²=-4x²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．