Question

如圖，設A、B、C、D為球O上四點，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=AC=

6

， AD=2，則OD與平面ABC所成的角為

 

．

Answer 1

分析：由題意把圖形特殊化為長方體的一部分的三條側棱兩兩垂直的三棱錐，由于知道各個棱長，所以可以通過建立空間直角坐標系，利用空間向量的知識把線面角的求解轉化為直線的法向量與平面的法向量之間的夾角的方法求解即可．

解答：解：由題意及圖形，可以把圖形化并建立如圖的空間直角坐標系：∵AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB=AC=

6

， AD=2
∴A（0，0，0）  B(

6

，0，0)   C(

6

，0，0)  D(0，0，2) O( 

6

2

 ，

6

2

，1) 而平面ABC的法向量取

AD

=(0，0，2)  直線的方向向量取

DO

=(

6

2

，

6

2

，-1)則  cos＜

AD

，

DO

＞=-

1

2

，所以OD與平面ABC所成的線面角的正弦為

1

2

，所以OD與平面所成的角為

π

6

．
  故答案為：

π

6

點評：此題重點考查上了立體幾何做題時的特殊模型及空間向量的解題的方法，還考查了直線與平面所成角的概念及做題時把問題等價轉化的思想．