Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若有唯一零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，然后根據(jù)a的取值范圍對符號的影響進(jìn)行討論，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）通過求導(dǎo)，求得的根，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，由有唯一零點知，. 聯(lián)立求得滿足的方程，利用導(dǎo)函數(shù)求出的范圍，再由得出a的范圍，從而命題得證.

解：（1）由題意，，

定義域為：

若，則恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

若，令，得，

①當(dāng)，即時，，

則在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)，即時，，

則在上單調(diào)遞減，

③當(dāng)，即時，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上所述，時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）證明：由題意，，

，

令，解得是唯一的變號正根，

且①

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增，

，

要使有唯一零點，只需，

即②

由①②可知，，

令，顯然在上單調(diào)遞增，

,

，

又

由①知，其在上單調(diào)遞增，

即得證.