Question

【題目】已知橢圓C過點 ，兩個焦點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線l交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝6，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）由已知可設橢圓方程為（a＞b＞0），且c，再由橢圓定義求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）當直線AB的斜率不存在時，設直線方程為x＝m，由弦長求得m，可得三角形AOB的面積；當直線AB的斜率存在時，設直線方程為y＝kx+m，聯立直線方程與橢圓方程，結合根與系數的關系及弦長可得m與k的關系，再由點到直線的距離公式求出原點O到AB的距離，代入三角形面積公式，化簡后利用二次函數求最值，則答案可求．

解：（1）由題意，設橢圓方程為（a＞b＞0），

且c，2a12，

則a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．

∴橢圓C的標準方程為；

（2）當直線AB的斜率不存在時，設直線方程為x＝m，

得|AB|，

由|AB|6，解得m＝±3，

此時；

當直線AB的斜率存在時，設直線方程為y＝kx+m，

聯立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．

△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．

設A（，），B（，），

則，．

由|AB|6，

整理得：，原點O到AB的距離d．

∴

．

當時，△AOB面積有最大值為9．

綜上，△AOB面積的最大值為．