Question

【題目】如圖，圓為圓上任意一點(diǎn)，過作圓的切線，分別交直線和于兩點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，若點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）設(shè)直線的斜率分別為，求的值，并求曲線的方程；

（2）記直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值的最大值及取得最大值時(shí)的值.

（注：在點(diǎn)處的切線方程為）

Answer 1

【答案】(1)（）;(2)取得最大值，此時(shí).

【解析】

（1）易知過點(diǎn)的切線方程為，其中，

則，從而得到，進(jìn)而得到曲線的方程；

（2）聯(lián)立消去，得，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而求出，從而有，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（1）易知過點(diǎn)的切線方程為，其中，

則，

∴

設(shè)，則（）

故曲線的方程為（）

（2）聯(lián)立消去，得，

設(shè)，則，

由得且

∴，

易得，

∴，

∴，

令且，

則，

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí).