Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析式.

（2）討論函數的單調性.

Answer 1

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

（1）求函數f（x）的導數，令f'（2）＝4求出a值，利用切點P（2，f（2））在函數f（x）和切線y＝4x﹣2上，求出b值，可得答案．（2）求導函數，比較導函數等于0的方程根的大小，分類討論，確定函數的單調性；

（1）求導函數得f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2

∵若曲線y＝f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y＝4x﹣2

∴f′（2）＝4a﹣2（a+2）+2＝4

∴2a＝6，∴a＝3,

∵點P（2，f（2））在切線方程y＝4x﹣2上,

∴f（2）＝4×2﹣2＝6，∴2+b＝6，∴b＝4

∴函數f（x）的解析式為；

（2）f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝(ax-2)(x-1),函數定義域為R，

①當a=0時，f′（x）＝﹣2（x-1）,

函數f（x）在區間（﹣∞，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；

②當0＜a＜2，即時，函數f（x）在區間（﹣∞，1）及（，+∞）上為增函數；在區間（1，）上為減函數；

③當a＞2，即時，函數f（x）在區間（﹣∞，）及（1，+∞）上為增函數；在區間（，1）上為減函數；

④當a=2時，f′（x）＝(2x-2)(x-1)=，可知函數在定義域上為增函數.

⑤當時，函數在區間及（1，+∞）上為減函數，在區間上為增函數.