Question

已知函數（且）．

(1) 試就實數的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；

(2) 已知當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求的值并寫出函數的解析式；

(3) （理）記(2)中的函數的圖像為曲線，試問是否存在經過原點的直線，使得為曲線的對稱軸？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．

    (文) 記(2)中的函數的圖像為曲線，試問曲線是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

(1) ①當時，函數的單調遞增區間為及，

   ②當時，函數的單調遞增區間為及，

   ③當時，函數的單調遞增區間為及．

                                                           

     (2) ．                    

 (3) （理）存在直線及為曲線的對稱軸．          

   （文）函數為奇函數，曲線為中心對稱圖形．

解析:

(1) ①當時，函數的單調遞增區間為及，

   ②當時，函數的單調遞增區間為及，

   ③當時，函數的單調遞增區間為及．

                                                                 （6分）

     (2) 由題設及(1)中③知且，解得，             （9分）

        因此函數解析式為．                     （10分）

 (3) （理）假設存在經過原點的直線為曲線的對稱軸，顯然、軸不是曲線的對稱軸，故可設：（），

   設為曲線上的任意一點，與關于直線對稱，且

，，則也在曲線上，由此得，，

        且，，                            （14分）

        整理得，解得或，

        所以存在直線及為曲線的對稱軸．           （16分）

   （文）該函數的定義域，曲線的對稱中心為，

   因為對任意，，

   所以該函數為奇函數，曲線為中心對稱圖形．