Question

【題目】在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、．設直線傾斜角的余弦值為，圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）直線與圓相切，理由見解析 （3）

【解析】

（1）根據直線的傾斜角的余弦值為，求出a,b的等量關系即可求解離心率；

（2）通過計算可得直線與以為直徑的圓相切，所以直線與圓相切；

（3）根據面積求出半徑，依次列方程組求解參數的值.

解：（1）設橢圓E的焦距為2c（c>0），

因為直線的傾斜角的余弦值為，所以，

于是，即，所以橢圓E的離心率

（2）由可設，，則，

于是的方程為：，

故的中點到的距離，

又以為直徑的圓的半徑，即有，所以直線與以為直徑的圓相切．

因為圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱，

所以直線與圓相切．

（3）由圓的面積為知，圓半徑為2，從而，

設的中點關于直線：的對稱點為，

則解得．

所以，圓的方程為．