Question

已知sinα=

3

5

，α∈（

π

2

，π），cosβ=-

5

13

，β是第三象限的角．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求sin（α+β）的值；
（3）求tan2α的值．

Answer 1

分析：根據sinα的值，以及α的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，根據cosβ的值，以及β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinβ的值，
（1）原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）原式利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（3）根據sinα與cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出tanα的值，tan2α利用二倍角的正切函數公式化簡，將tanα的值代入計算即可求出tan2α的值．

解答：解：∵α∈（

π

2

，π），∴cosα=-

1-sin2α

=-

4

5

，
∵β是第三象限的角，∴sinβ=-

1-cos2β

=-

12

13

，
（1）cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ=（-

4

5

）×（-

5

13

）+

3

5

×（-

12

13

）=-

16

65

；                     
（2）sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ=

3

5

×（-

5

13

）+（-

4

5

）×（-

12

13

）=

33

65

；                  
（3）∵tanα=

sinα

cosα

=-

3

4

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×(- 3 4 )

1-(- 3 4 )2

=-

24

7

．

點評：此題考查了二倍角的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦、余弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．