Question

空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別為BC、CD上的點，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD
求證：（1）E、F、G、H四點共面．
（2）三直線FH、EG、AC共點．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理、平行線分線段成比例的判定定理及共面的判定定理即可證明；
（2）利用分別位于兩個相交平面的相交直線必相交于兩個相交平面的交線上．

解答：解：（1）如圖所示，
∵E、F分別是AB、AD的中點，∴EF∥BD；
∵G、H分別為BC、CD上的點，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD，∴

CG

CB

=

CH

CD

，
∴GH∥BD．
∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點共面．
（2）由（1）可知：EF=

1

2

BD，GH=

1

3

BD，∴EF≠GH，因此EG與FH必相交，
設EG∩FH=P，∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
∴P∈AC，即三直線FH、EG、AC共點P．

點評：熟練掌握三角形中位線定理、平行線分線段成比例的判定定理及共面的判定定理是解題的關鍵．