Question

【題目】已知正項數列的前項和為，且．數列滿足，為數列的前項和．

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用與的關系作差可知數列為等差數列與公差，即可求得通項公式；

（2）由（1）表示數列的通項公式，由裂項相消法求和即可；

（3）分類討論為偶數與奇數時轉化不等式，再由基本不等式與函數的單調性求最值，最后由不等式恒成立問題轉化求參數取值范圍即可．

解：（1）當時，；

當時，因為，，所以，

兩式相減得，

所以，所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列，

所以．

（2）由題意和（1）得：，

所以數列前項和．

（3）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵，等號在時取得．

此時需滿足．

②當為奇數時，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵是隨的增大而增大，

∴時，取得最小值．

此時需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．