Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，過的直線與橢圓交于兩點，且的周長為

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓分別交于兩點，且，試問點到直線的距離是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，證明見解析

【解析】

（1）由周長可求得，利用離心率求得，從而，從而得到橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯立，可得韋達定理的形式；利用垂直關系可構造方程，代入韋達定理整理可得；利用點到直線距離公式表示出所求距離，化簡可得結果.

（1）由橢圓定義知：的周長為：

由橢圓離心率： ，

橢圓的方程：

（2）由題意，直線斜率存在，直線的方程為：

設，

聯立方程，消去得：

由已知，且，

由，即得：

即：

，整理得：，滿足

點到直線的距離：為定值