Question

閱讀下面一段文字：已知數列{a_n}的首項a₁=1，如果當n≥2時，a_n-a_n-1=2，則易知通項a_n=2n-1，前n項的和S_n=n²．將此命題中的“等號”改為“大于號”，我們得到：數列{a_n}的首項a₁=1，如果當n≥2時，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．這種從“等”到“不等”的類比很有趣．由此還可以思考：要證S_n＞n²，可以先證a_n＞2n-1，而要證a_n＞2n-1，只需證a_n-a_n-1＞2（n≥2）．結合以上思想方法，完成下題：
已知函數f（x）=x³+1，數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若數列{a_n}的前n項的和為S_n，求證：S_n≥2ⁿ-1．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，由命題中的“等號”性質，類比推理出”“大于號”的性質．由a₁=1，a_n+1=a_n³+1，a_n≥1．得出：a_n+1=a_n³+1≥a_n²+1≥2a_n，從而

an+1

an

≥2，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1≥2n-1得到a_n≥2^n-1，最后利用等比數列的求和公式即可證得結論．

解答：解：∵a₁=1，a_n+1=a_n³+1，a_n≥1．…4′
∴有：a_n+1=a_n³+1≥a_n²+1≥2a_n，
∴

an+1

an

≥2．…8′
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1≥2n-1，
即a_n≥2^n-1．…11′
故Sn=a1+a2+…+an≥1+2+22+…+2n-1=

1-2n

1-2

=2n-1．
∴S_n≥2ⁿ-1成立．…14′

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．