Question

【題目】已知函數f（x）= sinx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標依次構成一個公差為 的等差數列，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移 個單位，得到函數g（x）的圖象，則（ ）
A.g（x）是奇函數
B.g（x）關于直線x=﹣ 對稱
C.g（x）在[ ， ]上是增函數
D.當x∈[ ， ]時，g（x）的值域是[2，1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）= sinx+cosωx（ω＞0），
化簡得：f（x）=2sin（x+ ），
∵圖象與x軸交點的橫坐標依次構成一個公差為 的等差數列，可知周期為π
∴T=π= ，解得ω=2．
那么：f（x）=2sin（2x+ ），圖象沿x軸向左平移 個單位，得：2sin[2（x+ ）+ ]=2cos2x．
∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函數，在區間[0， ]單調減函數．所以A，C不對．
對稱軸方程為x= （k=Z），檢驗B不對．
當x∈[ ， ]時，那么2x∈[ ， ]，g（x）的最大值為1，最小值為﹣2，故值域為[﹣2，1]．D正確．
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．