Question

【題目】已知橢圓，與軸的正半軸交于點，右焦點， 為坐標原點，且．

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知點，過點任意作直線與橢圓交于兩點，設直線的斜率，若，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）tan∠PFO=可得=，c=b，a==b即可得出（2）直線斜率不為0時，設出直線方程ty=x﹣1，設C（x1，y1），D（x2，y2）．聯立，化為：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，∵k1+k2=2，∴+=2，根據韋達定理代入求解即可，斜率為0 時也成立

試題解析：

（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．

∴==．

（2）直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為：ty=x﹣1．設C（x1，y1），D（x2，y2）．

聯立，化為：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，

y1+y2=，y1y2=，

∵k1+k2=2，∴+=2，

化為：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），

即：ty1y2=y1+y2，

∴t=，對t∈R都成立．

化為：b2=1，

直線l的斜率為0時也成立，

∴b2=1，

∴橢圓C的方程為．