Question

對于數列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數列A變換成數列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．這種“T變換”記作B=T（A），繼續對數列B進行“T變換”，得到數列C：c_l，c₂，c₃，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束．
（Ⅰ）寫出數列A：2，6，4經過5次“T變換”后得到的數列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，判斷數列A：a₁，a₂，a₃經過不斷的“T變換”是否會結束，并說明理由；
（Ⅲ）設數列A：400，2，403經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件直接寫出數列A：2，6，4經過5次“T變換”后得到的數列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，數列A：a₁，a₂，a₃經過不斷的“T變換”不會結束，只需說明數列經過變換成為非零常數列；
（Ⅲ）設數列A：400，2，403經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值．要抓住B經過6次“T變換”后得到的數列也是形如“a，a+3，3”的數列，數列B經過6×22=132次“T變換”后得到的數列為2，5，3變換后使得各項的和最小，數列和的最小值為2，以后數列循環出現，數列各項和不會更小．k的最小值為136．

解答：解：（Ⅰ）依題意，5次變換后得到的數列依次為
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…（3分）
所以，數列A：2，6，4經過5次“T變換”后得到的數列為2，0，2，…（4分）
（Ⅱ）數列A經過不斷的“T變換”不可能結束
設數列D：d₁，d₂，d₃，E：e₁，e₂，e₃，F：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F
依題意|e₁-e₂|=0，|e₂-e₃|=0，|e₃-e₁|=0，所以e₁=e₂=e₃
即非零常數列才能通過“T變換”結束．…①…（6分）
設e₁=e₂=e₃=e（e為非零自然數）．
為變換得到數列E的前兩項，數列D只有四種可能
D：d₁，d₁+e，d₁+2e，D：d₁，d₁+e，d₁；D：d₁，d₁-e，d₁，D：d₁，d₁-e，d₁-2e；
而任何一種可能中，數列E的笫三項是O或2e．
即不存在數列D，使得其經過“T變換”成為非零常數列．…②…（8分）
由①②得，數列A經過不斷的“T變換”不可能結束．
（Ⅲ）數列A經過一次“T變換”后得到數列B：398，401，3，其結構為a，a+3，3．
數列B經過6次“T變換”得到的數列分別為：3，a，a-3；a-3，3，a-6：a-6，a-9，3；3，a-12，a-9；a-15，3，a-12；a-18，a-15，3．
所以，經過6次“T變換”后得到的數列也是形如“a，a+3，3”的數列，變化的是，除了3之外的兩項均減小18．    …（10分）
因為398=18×22+2，所以，數列B經過6×22=132次“T變換”后得到的數列為2，5，3．
接下來經過“T變換”后得到的數列分別為：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…．
至此，數列和的最小值為2，以后數列循環出現，數列各項和不會更小．…（12分）
所以經過1+132+3=136次“T變換”得到的數列各項和達到最小，
即k的最小值為136．   …（13分）

點評：此題需要較強的邏輯思維能力及計算能力，通過計算發現和歸納出其規律，進而得出答案．