Question

【題目】如圖，在中，，點P為的中點，交于點D，現將沿翻折至，使得平面平面.

（1）若Q為線段的中點，求證：平面；

（2）在線段上是否存在點E，使得二面角大小為.若存在，請求出點E所在位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；E為線段的中點

【解析】

（1）推導出，，從而，推導出，，進而平面，由此能求出，，由此能證明平面．

（2）推導出，，得平面，以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，當點為線段的中點時，二面角的大小為．

解：（1）證明：在中，，，

將沿翻折至，，

又，平面，

平面，，

在中，Q為的中點，，

又，平面

（2）在，，，又沿翻折至，

且平面平面，由（1）有，得平面.

以點P為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，

.

設，則，所以

設平面的一個法向量為

則由即

可得

可取平面的一個法向量為

則，解得.

所以當點E為線段的中點時，二面角大小為.