Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）是否存在一個正實數，滿足當時，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）時，的增函數區間為，無減函數區間；時，的增函數區間為，減函數區間為；時，的增函數區間為，減函數區間為；（2）存在， .

【解析】

（1）根據題意，分析函數定義域，求導，分類討論參數不同的取值范圍時函數單調性，即可求解；

（2）根據題意，，由（1）知的最大值為，若對任意實數，恒成立，只須使即可.又因為，所以不等式等價于：，即：，設，對求導，分析單調性，討論的范圍，判斷不等式成立條件.

（1）函數的定義域為，

①若在上為增函數；

②若，∵，∴當時，；當時，；

所以在上為增函數，在上為減函數；

③若，∵，∴當時，；當時，；

所以在上為減函數，在為增函數

綜上可知，時，的增函數區間為，無減函數區間；

時，的增函數區間為，減函數區間為；

時，的增函數區間為，減函數區間為；

（2）由（1）知，時，的最大值為，

若對任意實數，恒成立，只須使即可.

又因為，所以不等式等價于：，

即：，

設，則，

∴當時，；當時，

所以，在上為減函數，在上為增函數，

∴當時，，不等式不成立，

當時，，不等式不成立，

當時，，不等式成立，

∴存在正實數且時，滿足當時，恒成立.