Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值；

（2）證明：，.

Answer 1

【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析

【解析】

（1）根據函數的解析式求得導函數，可由的符號判斷函數的單調性，并由極值點求得極值.

（2）將函數的解析式代入不等式，并構造函數，求得，再構造函數，并求得，由可知在上單調遞增，由零點存在定理可知在內有唯一解，記為，滿足.進而由的符號判斷單調性，即可求得的函數表達式，根據二次函數在定區間上的值域即可判斷恒成立，即證明不等式成立.

（1）函數，，

則，

由可知在上單調遞增，且，

故當時，，

當時，，

故函數有極小值，無極大值；

（2）證明：依題意對，，即；

設，則，設.

因為，所以在上單調遞增.

又因為，，

所以在內有唯一解，記為，即.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以，.

設，，則，

所以，

所以，即，.