【題目】已知圓
，直線
.
（1）求直線
所過定點A的坐標；
（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；
（3）已知點M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點N(異于點M)，滿足：對于圓C上任一點P，都有
為一常數， 試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數.
【答案】（1）A（1，3）；（2）直線
方程為
，最短弦長為
；（3）在直線MC上存在定點
，使得
為常數
．
【解析】
（1）利用直線系方程的特征，直接求解直線過定點A的坐標；
（2）當AC⊥時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），
，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可；
（3）由題知，直線MC的方程為
，假設存在定點N（
，4）滿足題意，則設
，
，得
，且
，求出
，然后求解比值.
解：（1）依題意得，
，
令
且
，得
，
∴直線過定點A（1，3）；
（2）當AC⊥時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），，
，得
，
∴由
得
，
此時直線方程為，
∴圓心到直線的距離為
，
∴最短弦長為
；
（3）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N（，4）滿足題意，
則設，，得，且，
，
，
整理得，
，
∵上式對任意
恒成立，
且
，
解得 
或
（舍去，與M重合），
綜上可知，在直線MC上存在定點，使得為常數.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為達到節水節電的目的，某家庭記錄了20天的日用電量xi（單位：度）的頻數分布表和這20天相應的日用水量yi（單位：m3）的頻率分布直方圖如下：
日用電量xi | [0，2） | [2，4） | [4，6） | [6，8） | [8，10） |
頻數（天） | 2 | 5 | 7 | 3 | 3 |
（1）假設水費為2.5元/m3，電費為0.6元/度，用以上數據估計該家庭日用電量的平均值和日用水量的平均值，并據此估計該家庭一個月的水費和電費一共是多少？（一個月按30天算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）；
（2）假設該家庭的日用水量y和日用電量x可用線性回歸模型來擬合，請利用（1）中的計算數據及所給的參考數據和公式，建立y與x的回歸方程，預測若該家庭日用電量為20度時的日用水量是多少m3？（回歸方程的系數小數點后保留2位小數）
參考數據：
xiyi＝65，
612
參考公式：回歸方程
x
中斜率和截距的公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，四邊形是菱形，
，
，且
，
交于點
，
是
上任意一點．
（1）求證：
；
（2）若為的中點，且二面角
的余弦值為
，求
與平面
所成角
的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
，且點在直線上．
（1）求
的值及直線的直角坐標方程；
（2）圓
的極坐標方程為
，試判斷直線與圓的位置關系．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為弘揚優良傳統，展示80年來的辦學成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動。現在需要招募活動開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節目主持人，現按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.
（1）請補充頻率分布表中空白位置相應數據，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；
（2）為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺，求第3、4、5組每組各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽取的概率？
參考公式：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數
向左平移
個單位，得到
的圖象，則滿足（ ）
A.圖象關于點
對稱，在區間
上為增函數
B.函數最大值為2，圖象關于點
對稱
C.圖象關于直線
對稱，在
上的最小值為1
D.最小正周期為
，
在
有兩個根
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的一個焦點與拋物線
的焦點重合，且過點
.過點
的直線
交橢圓
于
， 
兩點， 
為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓
的標準方程；
(Ⅱ)求
面積的最大值，并求此時直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
同時滿足：①對于任意的正整數
， 
恒成立；②對于給定的正整數
， 
對于任意的正整數
恒成立，則稱數列
是“
數列”.
（1）已知
判斷數列
是否為“
數列”，并說明理由；
（2）已知數列
是“
數列”，且存在整數
，使得
， 
， 
， 
成等差數列，證明： 
是等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市公交公司為了鼓勵廣大市民綠色出行,計劃在某個地段增設一個起點站,為了研究車輛發車的間隔時間
與乘客等候人數
之間的關系,經過抽樣調查五個不同時段的情形,統計得到如下數據:
間隔時間( | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
等候人數( | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 |
調查小組先從這5組數據中選取其中的4組數據求得線性回歸方程,再用剩下的1組數據進行檢驗,檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數
,再求與實際等候人數的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.
(1)若選取的是前4組數據,求關于的線性回歸方程
,并判斷所求方程是否是“理想回歸方程”;
(2)為了使等候的乘客不超過38人,試用所求方程估計間隔時間最多可以設為多少分鐘?
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式:
,
.
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