Question

【題目】已知函數，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求的極值點；

（3）若為R上的單調函數，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）極大值點為，極小值點為；（3）

【解析】

（1）首先求出切點，再求出，利用導數的幾何意義以及點斜式方程即可求解.

（2）先求導數，再討論滿足的點附近的導數的符號的變化情況，通過列表來確定極值點即可.

（3）根據導函數，由為R上的單調函數，若為R上的單調增函數，故恒成立，根據二次函數的性質，得到，為R上的單調遞減函數時，則恒成立，得到，進而可求解.

（1），所以切點為，

曲線在處的切線方程：，即，

故曲線在處的切線方程為.

（2）當時，，

由，得，，

當變化時，與的相應變化如下表：

，

所以是的極大值點，是的極小值點.

（3）當為R上的單調遞增函數時，

則恒成立，即恒成立，

當時，則恒成立，

當時，，解得，

當為R上的單調遞減函數時，

則恒成立，即，

當時，則不恒成立，

當時，，無解.

綜上所述，.