Question

【題目】已知定義在上的函數.

（1）求單調區間；

（2）當時，在上有三個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

對函數求導可得,,分，,三種情況討論利用導數判斷函數的單調性求單調區間即可;

令,把函數在上有三個零點轉化為函數的圖象與直線在上有三個不同的交點，通過對函數進行求導判斷其單調性并求極值,得到關于的不等式,解不等式即可.

由題意知,，

令得或，

當時，恒成立，函數的單調增區間為；

當時由，得或；由，得；

函數的單調減區間為，單調增區間為，；

當時由，得或；由，得；

函數的單調減區間為，單調增區間為，；

綜上可知,當時，函數的單調增區間為；

當時函數的單調減區間為，單調增區間為，；

當時函數的單調減區間為，單調增區間為，；

令，則，

則，令，解得，

當時,；當或時,，

函數在和上單調遞增，在上單調遞減，

所以當時,函數有極大值為，

當時,函數有極小值為，

使函數在上有三個零點，

即直線和函數有三個不同的交點，

由單調性，只需滿足，

即，解得，

所以實數的取值范圍是.