Question

【題目】已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，當時，有.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過橢圓右焦點的動直線與橢圓交于兩點，試問在鈾上是否存在與不重合的定點，使得恒成立？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在， T（4，0）

【解析】

（1）由題意，．故．然后設點坐標為，代入橢圓方程，聯立橢圓定義，進一步計算可得橢圓的標準方程；

（2）假設存在與不重合的定點，使得恒成立，則，設出、、點坐標代入計算，可得．然后設直線．聯立直線與橢圓方程，消去整理可得一元二次方程，根據韋達定理有，．然后代入進行計算可判斷是否是定值，即可得到結論．

解：（1）由題意，．故．

可設點坐標為，則

，解得，即．

，解得．

，．

橢圓的標準方程為．

（2）由題意，假設存在與不重合的定點，使得恒成立，

設，，且，，，，，則

，．

，

，即．

整理，得．

設直線．

聯立，

消去，整理得．

，．

．

．

存在與不重合的定點，使得恒成立，且點坐標為．