【題目】已知直線
是曲線
的切線.
（1）求函數
的解析式，
（2）若
，證明:對于任意
，
有且僅有一個零點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）對函數求導，并設切點
，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得
，即可得答案；
（2）當x充分小時
，當x充分大時
，可得
至少有一個零點. 再證明零點的唯一性，即對函數求導得
，對
分
和
兩種情況討論，即可得答案.
（1）根據題意，
，設直線
與曲線
相切于點.
根據題意，可得
，解之得，
所以.
（2）由（1）可知
，
則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.
∵
，
①若，則
，在
上單調遞增，∴有唯一零點.
②若令
，得有兩個極值點，
∵
，∴
，∴
.
∴在
上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
∴極大值為
.
，又
，
∴
在(0，16)上單調遞增，
∴
，
∴
有唯一零點.
綜上可知，對于任意
，
有且僅有一個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司欲對員工飲食習慣進行一次調查，從某科室的100人中的飲食結構調查結果統計如下表.
主食蔬菜 | 主食肉類 | 總計 | |
不超過45歲 | 15 | 40 | |
45歲以上 | 20 | ||
總計 |
（1）完成
列聯表，并判斷能否有99%的把握認為員工的飲食習慣與年齡有關？
（2）在45歲以上員工中按照飲食習慣進行分層抽樣抽出一個容量為6的樣本，從這6個人中隨機抽取3個人，求這3個人都主食蔬菜的概率.
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學用“隨機模擬方法”計算曲線
與直線
所圍成的曲邊三角形的面積時，用計算機分別產生了10個在區間[1，e]上的均勻隨機數xi和10個在區間[0，1]上的均勻隨機數
，其數據如下表的前兩行．
x | 2.50 | 1.01 | 1.90 | 1.22 | 2.52 | 2.17 | 1.89 | 1.96 | 1.36 | 2.22 |
y | 0.84 | 0.25 | 0.98 | 0.15 | 0.01 | 0.60 | 0.59 | 0.88 | 0.84 | 0.10 |
lnx | 0.90 | 0.01 | 0.64 | 0.20 | 0.92 | 0.77 | 0.64 | 0.67 | 0.31 | 0.80 |
由此可得這個曲邊三角形面積的一個近似值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，以下結論正確的個數為（ ）
①當
時，函數
的圖象的對稱中心為
；
②當
時，函數在
上為單調遞減函數；
③若函數在上不單調，則
；
④當
時，在
上的最大值為15．
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為
（α為參數，直線l：y=kx（k＞0），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|OA||OB|的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，左、右焦點分別是
，橢圓
上短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
；
（1）求橢圓的方程；
（2）過
作垂直于
軸的直線
交橢圓于
兩點（點
在第二象限），
是橢圓上位于直線兩側的動點，若
，求證：直線
的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一批用于手電筒的電池，每節電池的壽命服從正態分布
（壽命單位：小時）.考慮到生產成本，電池使用壽命在
內是合格產品.
（1）求一節電池是合格產品的概率（結果四舍五入，保留一位小數）；
（2）根據（1）中的數據結果，若質檢部門檢查4節電池，記抽查電池合格的數量為
，求隨機變量的分布列、數學期望及方差.
附：若隨機變量服從正態分布
，則
，
，
.
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